Prenons une utilité de type CES pour les ménages
$$ U=\left[\delta C_B^{-\rho} + (1-\delta)C_S^{-\rho} \right]^{-\frac{1}{\rho}} $$
Avec $\delta$ qui définit la préférence entre les deux biens, et $\rho$ l’élasticité de substitution. Si $\rho=1$, on parle de parfaite substituabilité. Si $\rho \sim 0$, ça correspond à une fonction de type Cobb-Douglas. Enfin, si $\rho = -\infty$, c’est une fonction de type Leontief de parfaite complémentarité. On parle de “constant elasticité of substitution” parce que l’élasticité est constante entre chaque input.
On pose également que $\epsilon=\frac{1}{\rho+1}$. La contrainte est donnée par :
$$ s.t.\ \ P_BC_B+P_SC_S=Y $$
La Lagrangien prend la forme :
$$ \mathcal L = U+\lambda\left[ Y-P_BC_B-P_SC_S \right] $$
La condition de premier ordre pour $C_B$ peut se trouver en dérivant d’abord l’ensemble des crochets, mutipliée par la dérivée à l’intérieure des crochets :
$$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial C_B}=0 \implies \left(\frac{-1}{\rho}\right)\left[ \delta C_B^{-\rho }+ (1-\delta)C_S^{-\rho} \right]^{\frac{-1}{\rho}-1}\times (-\rho.\delta C_B^{(-\rho-1)})=\lambda P_B \\
$$
On peut ensuite éliminer les termes qui s’annulent :
$$ \implies \cancel{\left(\frac{-1}{\rho}\right)}\left[ \delta C_B^{-\rho }+ (1-\delta)C_S^{-\rho} \right]^{\frac{-1}{\rho}-1}\times \cancel{(-\rho}.\delta C_B^{(-\rho-1)})=\lambda P_B \\
$$
ce qui nous donne :
$$
\left[ \delta C_B^{-\rho }+ (1-\delta)C_S^{-\rho} \right]^{\frac{-1}{\rho}-1}\times (\delta C_B^{(-\rho-1)})=\lambda P_B \\
$$
Ensuite, on sait que $\frac{-1}{\rho}-1 = \frac{-(1+\rho)}{\rho}$, donc :
$$
\left[ \delta C_B^{-\rho }+ (1-\delta)C_S^{-\rho} \right]^{\frac{-(1+\rho)}{\rho}}\times (\delta C_B^{-(\rho+1)})=\lambda P_B \\ $$
En posant $\left[ \delta C_B^{-\rho }+ (1-\delta)C_S^{-\rho} \right]^{\frac{-(1+\rho)}{\rho}} \equiv \Theta$ :
$$
\Theta\delta C_B^{-(\rho+1)}=\lambda P_B \\ $$
On peut alors trouver $\lambda$ :
$$
\frac{\Theta\delta C_B^{-(\rho+1)}}{P_B}=\lambda\\ $$