La recherche en finance tourne beaucoup autour des décisions de portefeuille, notamment sur la base des travaux de Markowitz (1952) ou de travaux plus récents. Par exemple, de nombreux articles de recherche cherchent à connaître le rôle d’un actif, comme les crypto-actifs, dans un portefeuille. Il existe trois rôles pour un actif dans un portefeuille d’après Baur & Lucey (2010), sur la base des corrélations:

Un actif qui a une corrélation positive (mais pas parfaitement positive) avec un autre actif ou un portefeuille peut jouer le rôle de diverfisier.

Un actif qui a une corrélation négative (mais pas parfaitement négative) avec un autre actif ou un portefeuille peut jouer le rôle de hedge.

Enfin, lorsqu’un actif a une corrélation négative avec un autre actif ou un portefeuille pendant les périodes de crises ou de stress intense peut jouer le rôle de safe-haven.

D’un autre côté, pas mal d’études cherchent à mesurer la performance d’un portefeuille composé de $N$ actifs selon différentes stratégies. Déjà, d’après les travaux fondateurs de Markowitz (1952), on sait qu’un portefeuille diversifié est plus efficace qu’un portefeuille composé d’un seul actif. En effet, on peut comparer les rendements et la volatilité d’un portefeuille composé d’un seul actif, et d’un portefeuille composé de 2 actifs :

Pour 1 actif

Les équations de rendements espérés $E(R_a)$ et de volatilité $Var(R_a)$de l’actif $a$ s’écrivent :

$$ E(R_a)= \mu_a \\ Var(R_a)= \sigma^2_a $$

Les rendements espérés sont en fait la moyenne $\mu$ des rendements de l’actif $a$, et la variance des rendements correspond à l’écart-type de l’actif $a$ élevés au carré.

Pour 2 actifs

Les équations de rendements espérés $E(R_p)$ et de volatilité $Var(R_p)$ d’un portefeuille composé de deux actifs $i$ et $j$ s’écrivent :

$$ E(R_p) = w_i \mu_i + w_j\mu_j \\ Var(R_p) = w_i \sigma^2_i + w_j \sigma^2_j +2w_iw_j \sigma_{ij} $$

Les rendements espérés sont la moyenne des rendements de chaque actifs $\mu_i + \mu_j$ pondérés par les poids $w$ accordés à chaque actif. La somme des pondérations doit toujours être égale à 1. Par exemple, si le portefeuille est composé à 30% de l’actif $i$ et à 70% de l’actif $j$, on a bien $w_i + w_j=1$.

La variance dépend de la somme des variances de chaque actif $\sigma^2_i+\sigma_j^2$ pondérés par les poids $w$ accordés à chaque actif, et dépend également de la covariance $\sigma_{ij}$ entre les actifs $i$ et $j$. On peut réécrire la covariance de la façon suivante : $\sigma_{ij}=\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$ avec $\rho_{ij}$ représentant la corrélation entre $i$ et $j$. On a donc les rendements du portefeuille qui correspondent à la somme pondérée des rendements des deux actifs, et la variance du portefeuille qui correspond à (quand on remplace la covariance):

$$ Var(R_p) = w_i\sigma^2_i + w_j\sigma_j^2+2w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j $$

<aside> 💡 On retrouve souvent cette équation écrite sous la forme matricielle : $Var(R_p)=w^t\Omega w$

</aside>

Il s’agit donc de trouver, selon Markowitz, les pondérations qui minimisent la variance des portefeuille sous contrainte de $\sum_{i=1}^{N}w_i=1$ (la somme des pondérations est égale à 1.