On nous donne une fonction d’utilité, qui est une fonction de $x$ et $y$ :
$$ U:f(x,y) $$
Et une contrainte $g(x,y)$ :
$$ s.t :g(x,y) $$
-Poser le problème de maximisation (minimisation) ; -Différencier le lagrangien pour les inconnues et égaliser les dérivées partielles avec 0
-Obtenir les conditions de premier ordre
-Résoudre les équations de premier ordre simultanément pour les inconnues ($x, y$)
On pose le problème de maximisation (ou de minimisation):
$$ \max_{x,y}\mathcal{L} (f(x,y)) + \lambda(g(x,y)) \\ \min_{x,y}\mathcal{L} (f(x,y))+\lambda(g(x,y)) $$
<aside> 💡 On retrouve souvent dans les papiers le même problème avec $-\lambda$ à la place de $+\lambda$. La seule différence se trouve en fait dans la réorganisation de la contrainte $g(x,y)$.
</aside>
On fait ensuite les dérivées des lagrangiens pour respectivement $x$ et $y$, qu’on égalise ensuite à 0, soit :
$$ \begin{equation}\mathcal{L} _1:\frac{dL}{dx}=\frac{df}{dx}+\lambda\frac{dg}{dx} =0 \ \ \ \ \ \ \end{equation}\\ \begin{equation}\mathcal{L} _2:\frac{dL}{dy}=\frac{df}{dy}+\lambda\frac{dg}{dy} =0\ \ \ \ \ \ \end{equation} $$
L’équation $(1)$ est la première condition de premier ordre. L’équation $(2)$ la deuxième condition de premier ordre. La dernière condition de premier ordre est la contrainte de budget.
Exemple : $U:f(x,y)= xy \\ s.t:g(x,y)=2x+y=100$
<aside> 💡 Le multiplicateur de Lagrange $\lambda_t$ contient souvent des informations importantes. En économie, la contrainte désigne souvent un stock disponible d’une certaine ressource, et la fonction d’objectif représente parfois l’utilité d’un agent, ou le profit obtenu d’une firme. Alors le multiplicateur donne l’augmentation maximum de l’utilité ou du profit qui peut être obtenu à la marge (si on augmentait d’une unité la ressource. C’est donc logiquement la quantité maximum qu’un agent rationnel serait prêt à payer pour avoir une unité supplémentaire. C’est la valeur marginale de la ressource.
</aside>