Florian Kraus, Bordeaux School of Economics, [email protected]
Peu importe la fonction d’utilité, on peut dériver les conditions optimales des ménages à partir de la contrainte :
Imaginons une fonction (dérivable) d’utilité qui dépend (positivement) de la consommation et (négativement) du travail :
$$ U(C_t,N_t) $$
avec la contrainte suivante :
$$ P_tC_t+Q_tB_t \le B_{t-1}+W_tN_t-T_t $$
Les ménages achètent une quantité $C_t$ de biens au prix $P_t$ et des titres $P_t$ avec un prix $Q_t$. Les dépenses des ménages ne peuvent pas excéder les ressources, c’est-à-dire les titres que les ménages ont acheté à la période précédente $B_{t-1}$, leur salaire $W_t$ multiplié par le nombre $N_t$ d’heures qu’ils ont travaillé moins les taxes $T_t$ qu’ils ont payé.
Le problème de maximisation prend donc la forme suivante:
$$ L :\max_{C_t,N_t,B_t} \mathbb{E}0\sum^{T}{t=0} \beta^t[\ U(C_t,N_t) +\lambda_t(B_{t-1}+W_tN_t-T_t-P_tC_t-Q_tB_t)] $$
Pour plus de détails, voir Optimisation sous Contrainte.
Les conditions de premier ordre (First-Order Conditions - FOC) peuvent être trouvées sans avoir plus de précisions concernant la fonction d’utilité. On n’a qu’à noter $\frac{dU}{dC_t}$ et $\frac{dU}{dN_t}$ les dérivées de $U$ en fonction de $C_t$ et $N_t$ respectivement. C’est d’ailleurs plus simple avec juste $U_{c,t}$ et $U_{n,t}$.
On a donc
$$ \begin{equation}\frac{dL}{dC_t} = 0: \frac{dU}{dC_t} - \lambda P_t = 0\end{equation} $$
$$ \begin{equation} \frac{dL}{dN_t} = 0: \frac{dU}{dN_t} + \lambda W_t = 0\ \ \ \end{equation} $$
$$ \begin{equation}\frac{dL}{dB_t}=0 : \frac{dU}{dB_t}-\lambda_t Q_t + \beta \mathbb{E}t \{\lambda{t+1}\} =0 \end{equation} $$
<aside> 💡 A noter que si, comme c’est le cas ici, la variable $B_t$ n’est pas présente dans la fonction d’utilité, alors $\frac{dU}{dB_t}=0$.
</aside>
A partir de $(1)$ on a $\frac{dU}{dC_t}=\lambda P_t$, donc $\lambda_t=\frac{dU}{dC_t}\frac{1}{P_t}$, et à partir de l’équation $(2)$ on a $\frac{-dU}{dN_t} \frac{1}{W_t}= \lambda_t$. On a donc $\lambda_t$ qui est égal à deux équations, qu’on peut égaliser:
$$ \frac{dU}{dC_t}\frac{1}{P_t} = \frac{-dU}{dN_t}\frac{1}{W_t} $$