Florian Kraus, Bordeaux School of Economics, [email protected]
Le programme des ménages est sensiblement le même.
$$ E_0\sum^{\infty}_{t=0}\beta^tU(C_t,N_t) $$
En revanche, un continuum de biens existent, de sorte que l’indice de consommation totale $C_t$ soit la somme des consommations de biens $i$.
$$ C_t \equiv (\int_0^1 C_t(i)^{1-\frac{1}{\varepsilon}}di)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}} $$
Avec $\varepsilon$ l’élasticité de substitution entre les différents biens.
Et la contrainte devient
$$ \int^1_0 P_t(i)C_t(i)di+Q_tB_t\le B_{t-1}+W_tN_t+T_t $$
Et $P_t(i)$ est la prix du bien $i$.
On a donc un nouveau problème qui s’ajoute à celui du modèle monétaire classique, à savoir le problème d’allocation optimale des dépenses entre les différents biens. Les ménages vont donc maximiser la consommation $C_t$ pour tous les niveaux de dépenses $Z_t = \int^1_0 P_t(i)C_t(i)di$.
On a donc un problème qui ressemble à :
$$ L=[\int^1_0C_t(i)^{1 -\frac{1}{\varepsilon}}di]^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}-\lambda( \int^1_0 P_t(i)C_t(i)di-Z_t) $$
Avec une fonction d’utilité de type CES.
$$ \frac{\partial L}{\partial C_t}=0 : C_t(i)^{-1/\varepsilon}C_t^{1/\varepsilon}= \lambda_tP_t(i) $$
En considérant deux biens $i$ et $j$, on trouve également que
$$ C_t(i)=(\frac{P_t(i)}{P_t(j)})^{-\varepsilon}C_t(j) $$
Qu’on peut ensuite remplacer dans la contrainte $\int^1_0P_t(i)C_t(i)di=Z_t$ :